Link na článek v angličtině: creation.com/cost

Teorie nákladů a náklady substituce – objasnění

 Walter J. ReMine

Náklady substituce byly mnohdy chybně interpretovány a tím se snížila jejich užitečnost. Tento článek objasňuje koncept nákladů a znovu potvrzuje jeho zásadní roli při zkoumání populačních jevů. Mnoho faktorů, které tradičně způsobovaly zmatek, je identifikováno a odmítnuto, včetně genetické smrti, genetické zátěže, životního prostředí a vymírání, které nejsou pro náklady substituce podstatné. Místo toho je zde pojem nákladů definován jako míra reprodukce požadovaná scénářem. Na rozdíl od tradičního pohledu je tento koncept nákladů obecný a platí za nejrůznějších okolností, včetně extrémních výkyvů ve velikosti populace a selekční hodnotě, a pro modely diskrétních nebo kontinuálních generací. Za tradičně předpokládaných zjednodušených okolností se však tento koncept přesně redukuje na tradiční vzorce. Pro jednotlivé substituce důkazy ukazují, že minimální celkové náklady substituce nastávají tehdy, když náklady zůstávají po celou dobu substituce konstantní. Nabízí se objasněný základ teorie nákladů pro všeobecné použití.

Obrázek 1. Jednoduchý scénář ukazující náklady substituce. Čtyři sloni jsou původním novým typem. O generaci později je pět slonů nového typu. Aby to bylo pravděpodobné, je v této generaci nutná míra reprodukce alespoň 1,25 (= 5/4).

J.B.S. Haldane¹ poprvé popsal „náklady substituce“ a způsob, jakým omezují rychlost vývoje. Z toho vyplynul problém (viz např. Dodson²), dnes známý jako Haldanovo dilema. Tento problém je závažnější u organismů s nízkou mírou reprodukce a dlouhou generační dobou, jako jsou vyšší obratlovci: sloni, velryby, opice, lidé atd. Evoluční genetici to považovali za závažný problém. Maynard-Smith³ a Kimura⁴ jej nezávisle na sobě uvádějí jako hlavní důvod svých nových převratných názorů na evoluční proces. Základní koncept nákladů však upadl do dlouhodobého zmatku, což omezilo možnosti jeho využití. Dnes má většina komentátorů za to, že problém je vyřešen, ale jen zřídka se shodují na tom, proč. Jedna z moderních autorit, George C. Williams,⁵ tvrdil, že „problém [Haldanova dilematu] nebyl nikdy vyřešen, ani Wallacem, ani nikým jiným“. Tento článek ukáže, že jej vyřešit nelze, dokud přetrvávají nejasnosti v základních otázkách.

Tento článek objasňuje koncept nákladů a znovu jej představuje jako zásadní nástroj pro zkoumání populačních jevů a našich pokusů o jejich vysvětlení nebo popis (zde označovaných jako scénáře).  Náklady, jak jsou zde definovány, jsou jednoduše mírou reprodukce vyžadovanou daným scénářem. Pokud daný druh není schopen zajistit takovou míru reprodukce, pak tento scénář není pravděpodobný. Stručněji řečeno, druh „nemůže zaplatit náklady“. Argumentace náklady je v jádru takto jednoduchá. Náklady i jejich úhrada představují míru reprodukce. Jsou definovány stejně, s tím rozdílem, že náklady jsou požadovány daným scénářem, zatímco platba je skutečně produkována v rámci daného druhu.

Historicky vzniklo mnoho zmatků přílišným zdůrazňováním sekundárních záležitostí, jako je genetická smrt, předchozí organismy, které jsou eliminovány, životní prostředí, biologická zdatnost a genetika. Pamatujme tedy, že náklady se týkají požadované míry reprodukce a vše ostatní je druhotné. Jednotkou nákladů je totiž míra reprodukce (tj. počet potomků na jedince za generaci). Veškeré náklady jsou specifikovány s ohledem na míru reprodukce. To také znamená, že veškeré náklady jsou specifikovány jako náklady na generaci, protože „na generaci“ je srozumitelný způsob specifikace míry reprodukce. Jak je obvyklé, míra reprodukce je pokaždé normalizována počtem producentů. Například pokud samec a samice vyprodukují šest potomků, míra reprodukce bude tři, nikoli šest. Toto důsledné zaměření na míru reprodukce je objasněním konceptu nákladů.

Existuje mnoho typů nákladů, z nichž každý je pojmenován podle toho, co modeluje. Nejjednodušší náklady, nazývané náklady kontinuity (C_C), představují míru reprodukce nutnou k pokračování reprodukčních jedinců z generace na generaci. Tato cena je 1,0; to znamená, že míra reprodukce 1,0 je nutná pouze k dlouhodobému udržení reprodukčních jedinců.

Všechny ostatní náklady vyžadují „reprodukční nadbytek“ – míru reprodukce převyšující pouhou kontinuitu. Tyto další náklady se započítávají do nákladů na kontinuitu. Tyto náklady zahrnují: náklady na náhodnou ztrátu (C_R), náklady na odstranění škodlivých mutací, známé také jako „náklady na mutaci“ (C_M), náklady na segregaci (C_X) a několik dalších. Tento článek se zaměřuje na konkrétní náklady: náklady substituce (C_S).

V tomto článku se znakem rozumí dědičná biologická vlastnost. Přídavné jméno „starý“ označuje dříve převládající rys, který je nahrazován něčím „novým“ (nazývaným také „nahrazující“ rys). Nový znak začíná jako jedinečná mutace a je v populaci nahrazen. Stará vlastnost je odstraněna. Jedinci, kteří mají starý znak (nový znak), se nazývají „starý typ“ („nový typ“).

Evoluce vyžaduje substituci znaků v populaci. Nová vlastnost přechází z nemnohých na mnohé. Nová vlastnost se „zvyšuje“ a „narůstá“. V tomto článku se „zvýšení“ a „nárůst“ vztahují na skutečný počet kopií znaku (nikoli na frekvenci znaku či na nárůst znaku v embryu nebo fenotypu). Například nový znak „narůstá“ z jedné kopie na milion kopií. Tento nárůst vyžaduje reprodukční nadbytek – náklady.  Náklady substituce (C_S) představují dodatečnou míru reprodukce potřebnou ke zvýšení určitého genotypu v míře dané evolučním scénářem. Tato definice postrádá genetické detaily, protože náklady substituce se primárně netýkají genetiky, ale spíše zvýšení znaku nebo znaků (prostřednictvím zvýšení genotypů) a míry reprodukce potřebné k jejich dosažení. Genetické detaily lze v případě potřeby upřesnit v konkrétních případových studiích.

Pro zjednodušení se tento článek zabývá pouze přírůstky dosaženými nadbytečnou mírou reprodukce. (Zvýšení nebo snížení v důsledku migrace a opakované mutace jsou méně významné jevy, kterými se budeme zabývat v jiném článku.) Tento článek se také zaměřuje na jednotlivé substituce (které se časově nepřekrývají). Vícenásobné substituce (překrývající se v čase) jsou pokročilým tématem, kterému se budeme věnovat v jiném článku. Dokud si neobjasníme základy, musíme vynechat genetické složitosti, jako je pohlavní rozmnožování a diploidie.

Jako jednoduchý příklad předpokládejme, že v dlouhodobém průměru má populace rovnoměrnou míru reprodukce. Přesto může být nový znak v populaci nahrazen. Podle našeho příkladového scénáře se nová vlastnost zvýší o dvacet pět procent během jedné generace (jako na obrázku 1). Od druhu se tedy požaduje míra reprodukce 1,25; jinými slovy náklady na kontinuitu (C_C) ve výši 1, plus náklady substituce (C_S) ve výši 0,25. Tento příklad zobrazuje náklady substituce v nejjednodušší a nejzákladnější podobě. Pokud daný druh není schopen skutečně zajistit míru reprodukce 1,25 (což by u druhů s poměrem pohlaví 1:1 vyžadovalo 2,5 porodu na samici), pak tento druh „nemůže zaplatit náklady“ a scénář není pravděpodobný. Takto funguje argument o nákladech. Výši nákladů nelze snížit dalšími podrobnostmi (týkajícími se prostředí, velikosti populace, osudu starých jedinců, způsobu selekce ani výkyvů v některém z těchto faktorů). Například „změna prostředí“ a „měkký výběr“ (bez ohledu na to, jak jsou definovány) nemohou tyto náklady snížit. Náklady jsou jednoduché, mechanické a nevyhnutelné. Když scénář tvrdil, že během jedné generace dojde k nárůstu o dvacet pět procent, v okamžiku, kdy scénář tento jednoduchý požadavek vznesl, byly požadovány náklady substituce ve výši 0,25.

V předchozím scénáři přiřazení nižší míry reprodukce starému znaku náklady nesníží. Místo toho se týká toho, kdo musí náklady zaplatit. V prvním scénáři je míra reprodukce v celé populaci rovnoměrná, takže všechny genotypy musí být produkovány s mírou reprodukce alespoň 1,25 a všechny nesou stejné náklady substituce (= 0,25). Ve druhém scénáři nese tyto náklady pouze nahrazující genotyp. Věty „genotyp X má náklady C“ a „náklady genotypu X jsou C“ jsou zkratkou pro „efektivní producenti potomstva genotypu X musí produkovat potomstvo genotypu X s mírou reprodukce C nebo vyšší, věnovanou úkolu určenému typem nákladů.“

Pro co nejlepší fyzikální pochopení se zaměřme na genotyp s největším nárůstem v dané generaci (tj. zaměřme se na substituující genotyp), protože ten určuje kritickou výši nákladů na substituci a tento genotyp vždy nese tyto náklady. Tato výše navíc zůstává pevná bez ohledu na to, zda je míra reprodukce rovnoměrná. Říkáme tomu princip ekvivalence nákladů. Protože tato výše nákladů není ovlivněna rozdíly v individuální míře reprodukce, můžeme bezpečně předpokládat jednotnou míru reprodukce. (Haldane toto zjednodušení použil ve všech svých výukových příkladech, ačkoli je dobře nevysvětlil.)

Nyní můžeme ignorovat reprodukční jedince starého typu a zaměřit se pouze na reprodukční jedince substitučního znaku. Tito reprodukční jednici musí zajistit takovou míru reprodukce, která pokryje veškeré náklady scénáře. Tito reprodukční jednici si musí sami dodávat náhrady (což s sebou nese náklady C_C), a navíc dodat jedince, kteří byli vyřazeni v důsledku náhodných ztrát (což představuje náklady C_R), dodat jedince vyřazené kvůli škodlivé mutaci (což vyvolává náklady C_M) a dodat zvýšení substitučního znaku (což vyvolává náklady C_S). A tak dále s dalšími náklady. Reprodukční jedinci musí zajistit plnou míru reprodukce, jinak je scénář nepravděpodobný. Jinými slovy, plný požadavek – náklady na vývoj– všechny tyto náklady sčítá. Všechny náklady mají stejné jednotky (ve všech případech se jedná se o míru reprodukce), takže se pohodlně sčítají.

Zaměříme-li se na nový znak (nikoli na starý znak, jak se tradičně dělávalo), získáme jasnou fyzikální představu o požadavcích na reprodukci a o tom, proč jsou nezbytné.

Nechť R je skutečná (realizovaná) míra reprodukce potomstva nového typu. R se nazývá „platba“ a je pozorovatelnou vlastností přírodních populací. Scénář je nepravděpodobný, pokud je platba R nižší než náklady na vývoj.

Jinými slovy, scénář je nepravděpodobný, pokud je skutečná míra reprodukce (potomků nového typu) nižší než požadovaná míra reprodukce (potomků nového typu). Toto kritérium věrohodnosti lze použít opakovaně, postupně pro každou generaci. Lze je použít i v dlouhodobém horizontu pomocí dlouhodobých průměrů nákladů a plateb. Tento rámec se bude zdát nezvyklý studentům, kteří jsou vychováni v tradičním pohledu, což vzhledem k různým jiným přístupům vytváří zmatek. Na rozdíl od těchto přístupů vychází tento článek z následující úzké linie.

Koncept nákladů pochází od Haldana.¹ Jeho matematiku zdokonalil Crow,⁶ který také výslovně zavedl termín „reprodukční nadbytek“. Nei⁷ zavedl pojem „kumulovaný nadbytek plodnosti nutný pro genovou substituci“,⁸ který definoval pro konstantní velikost populace a malý selekční koeficient. Merrell⁹ nejlépe shrnul střednědobé porozumění. ReMine objasnil různé otázky týkající se nákladů.¹⁰ Tento článek vychází z těchto zdrojů, dále objasňuje teorii nákladů, zbavuje ji tradičních zdrojů nejasností a postupně prohlubuje. Výsledkem je zpřesněná koncepce nákladů, která je v souladu s Haldanovým původním záměrem a výpočty.

Výpočet nákladů na substituci

Nechť X je libovolný dědičný znak, kde je cytogenetická identita znaku jedinečná, nedělitelná a konzistentní v průběhu substituce. (Tento znak není multifaktoriální, přičemž různé směsi různých DNA způsobují stejný fenotypový výsledek.) Proto lze tento znak identifikovat napříč generacemi a můžeme diskutovat o jeho nárůstu. Také znak se dědí, případně nedědí, jako kompletní jednotka (tj. nedochází k částečnému dědění znaku). Znak si můžeme představit jako blok DNA libovolné délky nebo jako cytoplazmatický znak. Neměli bychom se příliš soustředit na „vlastnost“ a její povahu. Nejde o znak, ale spíše o jeho nárůst a míru reprodukce, která je k jeho dosažení nutná.

Nechť reprodukce proběhne krátce po začátku každé generace. V generaci i nechť P je počet efektivních producentů potomstva typu X; nazvěme jej efektivní počáteční počet. Když se cyklus této generace blíží ke konci, nechť

je konečný počet dospělých jedinců typu X, kteří v následující generaci zplodí potomstvo. Jinými slovy, počítáme jednotlivé skupiny reprodukčních jedinců na začátku a na konci generace. První skupina je jediným producentem druhé skupiny, což klade na první skupinu reprodukční požadavky. (Poznámka: v tomto článku prvočíslo, např, označuje veličinu, když se generace blíží ke konci.) Zvýšení je Pak v generaci i jsou náklady substituce typu X následující:

V jednoduchých případech (jako jsou asexuální haploidi) se efektivní počáteční počet rovná konečnému počtu předchozí generace. Jinými slovy,

počítají stejnou skupinu rodičů s odstupem jedné generace. Protože druhá skupina je produkována výhradně první skupinou, je požadovaná míra reprodukce rovna

Odečtením nákladů kontinuity (= 1) získáme náklady substituce.

Na rozdíl od tradičního pohledu nepředpokládá tento koncept nákladů konstantní velikost populace. Velikost populace může skutečně velmi kolísat a veškeré náklady s tím spojené budou automaticky zahrnuty do výše uvedené definice bez jakéhokoli zvláštního zacházení. To dává smysl, protože „populační nárůst“ a „substituce“ jsou z hlediska znaku prakticky totéž – obojí tento znak zvyšuje.

„Celkové náklady substituce“ („celkové náklady“) jsou pouze součtem nákladů substituce za celý substituční cyklus, od začátku do konce.

Pro danou velikost populace zůstávají celkové náklady často přibližně konstantní v širokém rozsahu ostatních parametrů. Díky této konzistenci jsou celkové náklady užitečným údajem pro charakterizaci substitucí v dané populaci a obvykle se pro tento účel používají.

Rovnice 4 představuje to, co se v literatuře volně nazývá „náklady substituce“. Jaký je však fyzikální význam míry reprodukce, která se sčítá v mnoha generacích? Nemá žádný zřejmý fyzikální výklad a stala se zdrojem zmatků. Rovnice 4 je vlastně mezikrokem při hledání C_S, substitučních nákladů na generaci, které jsou skutečným předmětem našeho zájmu. Proto se „celkové náklady“ vypočítají podle rovnice 4, poté se zprůměrují za všechny substituční cykly scénáře a nakonec vydělí průměrným počtem generací na substituční cyklus, aby se získaly průměrné náklady na generaci, které se použijí pro C_S. Právě tak dobře bychom mohli získat C_S zprůměrováním rovnice 3 v dlouhodobém horizontu. Stejným způsobem rovnice 3 přímo udává C_S pro jakoukoli jednotlivou generaci, kterou se rozhodneme analyzovat. V každém případě C_S je veličina, kterou hledáme, a rovnice 3 je to, co nám nakonec poskytne její znalost – zúžením pojmu „náklady substituce“ na tyto veličiny lze zmatek omezit.

Průměrování nákladů může přinést jednoduché a silné argumenty. Například Haldane¹ odhadl celkové náklady substituce na 30 (v průměru); pokud tedy dojde k jedné substituci za 300 generací (v průměru), pak náklady substituce C_S jsou 30/300 = 0,1 (v průměru). Haldane ve skutečnosti použil právě tento druh „průměrovacího“ argumentu.

Obrázek 2. Náklady v závislosti na čase, které ukazují, že průměrné náklady nemusí dostatečně odrážet maximální náklady. V případech jako je tento, kdy se náklady vyšplhají vysoko, je třeba použít maximální náklady jako přísnější test scénáře. V případech, kdy nedochází k takovému skokovému nárůstu, jsou průměrné náklady často vhodnějším testem scénáře.

Rovnice 3 obsahuje podmínku. Modeluje skutečnost, že úbytky (poklesy) substitučního znaku v dané generaci nemají žádný fyzikální vliv na snížení celkových nákladů nebo průměrných nákladů. Naopak, taková snížení zvýší celkové náklady a podmínka tuto skutečnost přesně zohledňuje. Je zřejmé, že pokud se substituční znak snižuje, nevyžaduje dodatečnou míru reprodukce, takže zde definované náklady jsou nulové. Tímto způsobem jsou náklady ze své podstaty nezáporné.

Průměrování nákladů je nejužitečnější v časových intervalech, kdy náklady každé generace, Cost_i, zůstávají poměrně konstantní; jinak může být závažnost problémů s náklady podhodnocena nebo zastřena. Vezměme například scénář o délce jednoho milionu generací, kde Cost_i je jeden milion pro jednu generaci a pak nula. Průměrná cena je 1. Tento údaj o „průměrných nákladech“ však zakrývá extrémně vysoké náklady v jedné generaci. Zastírá skutečnost, že žádný druh na Zemi nedokáže za tuto jednu generaci zaplatit tolik, aby byl scénář věrohodný. Jinými slovy, průměrné náklady jsou užitečnou statistikou, pokud maximální náklady nečiní scénář nepravděpodobným (viz obrázek 2). Některé scénáře mohou vyžadovat částečné (nebo dílčí) průměrování, aby se získaly různé hodnoty průměrných nákladů pro různá časová období. Velmi složité scénáře mohou vyžadovat úplné upuštění od technik průměrování a místo toho vyžadovat porovnání nákladů a plateb napříč generacemi.

Náklady versus rychlost

Správné zarámování konceptu nákladů klade na scénáře nevyhnutelná konkrétní omezení. Teorie nákladů je skutečně tak nevyhnutelná, že se vztahuje dokonce i na počítačové simulace evoluce.

V tomto jednoduchém příkladu ponechme stranou všechny genetické složitosti (diploidie atd.) a prozkoumejme jednoduchý druh, který má jedinou základní vlastnost – rozmnožování. Předpokládejme, že jediná substituce vyžaduje, aby nový znak začal u jednoho dospělého jedince a rozšířil se na milion dospělých jedinců. Řekněme, že daný scénář umožňuje pouze jednu generaci. To by vyžadovalo míru reprodukce alespoň jednoho milionu potomků na dospělého jedince. To se rovná nákladům na kontinuitu (C_C) ve výši 1 plus dodatečné míře reprodukce ve výši 999 999 – což jsou náklady substituce (C_S). Pro tento scénář není možné získat nižší náklady. Vzhledem k vysokým nákladům by tento scénář nebyl možný pro všechny druhy.

Jediné, co může náklady zaplatit, je nadbytečná míra reprodukce. „Přínosnost“ vlastnosti nemůže zaplatit náklady – vlastnost se nemůže „zaplatit sama“. Pouze skutečný reprodukční nadbytek může uhradit náklady substituce.

Náklady lze omezit snížením míry substituce. Předpokládejme, že substituce trvá tři generace. Středním generacím jsem libovolně přiřadil čísla (500 a 20 000) a náklady jsem uvedl v tabulce 1.

Tabulka 1. Třígenerační substituce v populaci o 1 milionu obyvatel

Předpokládejme, že scénář tvrdí, že k substituci dochází přesně podle tabulky 1. To by znamenalo, že by tento druh musel v první generaci zaplatit 499, ve druhé 39 a ve třetí 49 nákladů. Pokud druh nemůže věrohodně uhradit tyto platby (právě v těchto generacích), pak scénář není věrohodný. V tomto ohledu je argumentace přiléhavá, a to napříč generacemi.

Z mých libovolně zvolených čísel vyplývá, že celkové náklady činí 587. Ať už však upravíme čísla pro střední generace jakkoli, celkové náklady budou vždy činit nejméně 297. Není možné se dostat níže. Nadbytečná míra reprodukce 99 pro každou ze tří generací je jen stěží dostačující pro splnění scénáře. Jiná uspořádání jsou vždy vyšší než 297, ale nikdy nižší. I když tedy scénář nespecifikuje střední generace, můžeme stanovit dolní hranici celkových nákladů. Náš rámec tak zůstává v platnosti, i když scénáře nejsou konkrétní.

Pro substituci s danou dobou trvání lze jednoduchým důkazem zjistit, že nejnižších celkových nákladů je dosaženo, když náklady na jednu generaci zůstávají konstantní (viz příloha). Tento bod shrnuje tabulka 2.

Tabulka 2 je dána následujícím vzorcem. Nechť P_S a P_E představují počet kopií nového znaku na začátku (S) a na konci (E) substitučního cyklu. Definujme „substituční faktor nárůstu“ K = P_E /P_S. Nechť N je počet generací na substituci. Minimální celkové náklady jsou dány takto:

Tyto optimálně nízké náklady vyžadují, aby znak měl konstantní míru nárůstu ve všech generacích. Protože příroda tuto stálost neposkytuje, budou mít skutečné případy vždy vyšší náklady. Také pokud se nový znak byť jen na okamžik sníží, celkové náklady se zvýší, protože některé náklady vzniknou vícekrát.

Někteří teoretici se domnívají, že problémy s náklady lze řešit pomocí nekonstantní rychlosti nárůstu – například pomocí biologické zdatnosti závislé na frekvenci nebo hustotě, jak se používá v měkkém výběru.¹¹ To však problém nezmenšuje, alespoň ne pro jednotlivé substituce, jak je uvedeno výše. K minimalizaci problému je spíše zapotřebí stálost, protože umožňuje nejnižší možné celkové náklady substituce s danou dobou trvání.

Celkové náklady jsou extrémně vysoké u rychlých substitucí a klesají u pomalejších. Absolutně nejnižší celkové náklady vznikají za podmínek, které se v přírodě nikdy nevyskytují. Dochází k tomu pouze tehdy, když znak roste monotónně, konstantní rychlostí nárůstu a když je tato rychlost nekonečně pomalá. V takovém případě se rovnice 4 mění na:

(Poznámka: Když N dosáhne nekonečna, rovnice 5 se podle očekávání zjednoduší přesně na rovnici 6.)

Tabulka 2. Minimální celkové náklady na zvýšení znaku o jeden milion

Rovnice 6 udává minimální celkové náklady, které se u jednoho znaku zvýší o daný substituční faktor nárůstu K za ideálních podmínek – které v přírodě nikdy nejsou splněny. To je také nejčastěji používaná rovnice pro celkové náklady substituce.

Tradiční zdroje nejasností

Náklady substituce závisí především na míře nárůstu, jak je uvedena ve scénáři. Nejde primárně o prostředí, o organismy starého typu, které jsou nahrazovány, ani o jejich životní historii. Ty byly již dříve navrženy jako způsoby snížení nebo odstranění nákladů, ale nemohou snížit náklady pod výše uvedená minima. Jejich převažujícím účinkem je zvýšení nákladů a/nebo snížení plateb, a tím zhoršení problémů s náklady.

Mnoho komentátorů (např. Van Valen,¹² Felsenstein,¹³ Hartl,¹⁴ Merrell⁹ a Grant¹⁵) uvádí, že podle nákladů substituce, pokud populace podstoupí příliš mnoho substitucí příliš rychle, budou náklady příliš vysoké a druh vymře. Tato interpretace je chybná. Náklady substituce nejsou teorií vymírání a náklady samy o sobě vymírání nezpůsobují. Náklady substituce spíše představují kritérium věrohodnosti, které nás nutí odmítnout některé scénáře jako nepravděpodobné. Pak může, ale nemusí dojít k vymírání z různých dalších důvodů. Pokud například scénář předpokládá, že k odvrácení vymírání je nutná určitá míra substituce, pak tento předpoklad sám o sobě vytváří souvislost s vymíráním, nikoli teorie nákladů. Cílem teorie nákladů je věrohodnost či nevěrohodnost daného scénáře.

Někteří komentátoři (např. Brues¹⁶ a Merrell⁹) naznačují, že „náklady na nevývoj“ jsou vyšší než náklady na vývoj. V této úvaze se slovo „cena“ používá neformálně, jako by „nevývoj“ vedl k vymírání a vymírání mělo „vysokou cenu“. Tato interpretace však neodpovídá žádné populačně genetické definici nákladů. Při správném použití jsou „náklady na nevývoj“ – náklady na nesubstituci – nulové. Při zachování ostatních podmínek jsou náklady na adaptivní evoluci vždy vyšší než náklady na nevývoj.

Náklady substituce se tradičně vyučovaly pomocí konceptu „genetické smrti“. Myšlenka byla taková, že substituce vyžaduje genetickou smrt nebo eliminaci jedinců starého typu. To způsobilo zmatek, protože se zdůrazňovaly nesprávné věci: smrt starého typu, jeho životní příběh, způsob smrti atd. V zásadě se však nejedná o náklady substituce. Jde o nárůst – nadbytečné zrození dalších kopií nového typu. Tradiční přístupy předpokládaly konstantní velikost populace, kdy se v každé generaci skutečný úbytek starého typu přesně rovná nadbytku narozených dětí nového typu. Tento koncept byl tedy intuitivně přitažlivý a v nejjednodušších případech vedl ke správnému výsledku. Tento článek odmítá koncept genetické smrti spolu s požadavkem na konstantní velikost populace.

V dosavadní diskusi nebylo zmíněno, zda je nahrazující znak prospěšný, neutrální nebo škodlivý – protože na tom nezáleží. Vždy, když se vlastnost zvyšuje reprodukčními prostředky, je to spojeno s náklady. To je v rozporu s téměř celou tradiční literaturou, která tvrdí, že neutrální substituce nemají „žádné náklady“ (např. Merrell⁹). Tento rozpor objasňuji tím, že neutrální substituce mají skutečně vysoké náklady (protože kolísají nahoru a dolů a opakovaně vyvolávají dodatečné náklady), ale jejich celková míra substituce není nákladově omezená.¹⁷ Neutrální a mírně škodlivé mutace se jednotlivě substituují velmi pomalu, ale mají zvláštní mechanismy, které umožňují vysokou celkovou míru substituce – neomezenou náklady (ale naopak omezenou mírou mutace).

1. Vyšší platby – existuje několik zvláštních mechanismů pro poskytování vyšších reprodukčních plateb. Tyto mechanismy využívají náhodnost v platbě – „stochastický reprodukční nadbytek“ na úrovni jedince a u pohlavních druhů také na úrovni genu. [Poznámka: u pohlavních druhů se v každé generaci každý genový lokus zdvojí (při oplodnění) a rozpůlí (při meióze). Z pohledu genu je „zdvojení“ zdrojem reprodukčního nadbytku, i když stochastické nebo náhodné povahy. Zdvojení a rozpůlení dává průměrnou míru reprodukce na úrovni genů 1,0, ale náhodně kolísá nad a pod touto hodnotou, aby poskytla stochastický reprodukční nadbytek. Křížení je dalším zdrojem. Tyto zdroje na úrovni genů postačují k úhradě substitucí, i kdyby na úrovni jedince nedocházelo k reprodukčnímu nadbytku.] Prakticky veškeré rozmnožování druhu je náhodné vzhledem k dané neutrální substituci a stochastická složka veškerého rozmnožování může být velká. Tento stochastický reprodukční nadbytek „platí“ za genetický drifta substituce neutrálních a škodlivých znaků. Tyto mechanismy se spoléhají na náhodnost a jejich výsledek je v drtivé většině případů nevýhodný nebo škodlivý. V rámci těchto mechanismů se „prospěšná evoluce“ stává spornou.
2. Nižší náklady – existují také speciální mechanismy pro snížení průměrných nákladů na substituci: když se mnoho mutací propojených blízko sebe na chromozomu vyskytuje blízko sebe v čase, pak se substituují společně. Tímto způsobem se „mnoho“ nahrazuje za cenu jedné substituce. Aby však tento mechanismus měl významný účinek, je třeba, aby bylo nahrazeno nadměrné množství nových mutací. Například při neomezeně vysoké míře neutrálních nebo škodlivých mutací je možné dosáhnout neomezeně vysoké míry těchto substitucí – neomezených nákladů. Stejné mechanismy však nejsou k dispozici pro prospěšné substituce. Dlouho předtím, než tyto mechanismy pomohou prospěšné substituci, bude populace přemožena (a zničena) škodlivou mutací. (Například žádoucí prospěšné mutace by byly mnohem častěji spojeny se škodlivými mutacemi, takže by putovaly společně, obvykle k eliminaci, bez čistého přínosu pro druh.) V tomto případě by byly náklady na odstranění škodlivé mutace (C_M) vysoké, což by zhoršilo problémy s náklady. Nakonec by se populace pravděpodobně ocitla v chybové katastrofě, když by se škodlivé mutace chronicky hromadily rychleji, než by mohly být eliminovány. To vše se děje proto, že škodlivé mutace co do množství i účinku výrazně převažují nad mutacemi prospěšnými. Dlouho předtím, než by došlo k potřebnému nadbytku prospěšných mutací, by scénář vážně trpěl vysokou mírou škodlivých mutací. V takové situaci se prospěšná evoluce stává spornou. Evoluce musí fungovat v rámci relativně nízké míry prospěšné mutace, což vylučuje tento mechanismus snižování průměrných nákladů.

Stručně řečeno, ačkoli všechny substituce jsou spojeny s náklady, tato skutečnost pouze omezuje výhodnou míru substituce. Příklady z přírody, které ukazují rychlé tempo neutrální nebo škodlivé substituce, nejsou v rozporu s teorií nákladů nebo nákladů na substituci, ani nevysvětlují biologické vzory, které má evoluce vysvětlit.

Někteří komentátoři (např. Felsenstein^13,18) tvrdí, že „substituce příznivých mutantů při absenci změny prostředí nepředstavuje žádné náklady.“ To je omyl. Náklady substituce ztělesňují neúprosnou skutečnost, že nárůst vyžaduje reprodukční nadbytek. Rovnice uvedené v tomto článku představují optimální situace nezávislé na prostředí. V průměru může změna prostředí pouze zvýšit náklady a/nebo snížit platby a tím prohloubit problémy s náklady.

Substituce při kolísání velikosti populace

Někteří badatelé argumentovali takto: předpokládejme, že populace se skládá z jednoho milionu jedinců starého typu a jednoho jedince nového typu. Pokud milion jedinců starého typu zemře bez dědiců, dojde k fixaci velmi rychle, během jedné generace. Eliminace starého typu (kterou přirovnali k „nákladům substituce“) tedy neomezuje míru substituce. Tento scénář je však neúplný, protože neukazuje úplný substituční cyklus. Neukazuje, jak probíhá vývoj v dlouhodobém horizontu. Tímto scénářem se velikost populace snížila na jednoho jedince, přičemž by uplynul nespočet generací, než by došlo k další prospěšné mutaci, a cyklus substituce by tak mohl začít znovu. (Například populace o jednom jedinci bude přijímat prospěšné mutace milionkrát pomaleji než populace o jednom milionu jedinců.) Tento způsob vývoje by byl nesmírně pomalý. Pro urychlení může scénář tvrdit, že populace roste (možná se vrátí na svou předchozí velikost), ale to vyžaduje reprodukční nadbytek – náklady substituce, jak je definováno výše. K omezení rychlosti dochází proto, že míra nárůstu populace je omezena dostupnou nadbytečnou mírou reprodukce druhu. Zaměření na „odstranění starého typu“ opět způsobilo zmatek, protože se soustředilo na nesprávnou věc. Nejde o odstranění starého typu, ale o nárůst nového typu.

Tento článek se na substituci dívá z širšího pohledu. Podle tradičního pojetí je substituce definována změnami frekvence alel a substituce „končí“ v okamžiku fixace, čímž jsou vyloučena období, kdy frekvence alel zůstávají konstantní, a nárůst populace je ignorován jako irelevantní. Tento pohled je pro studium míry substituce v dlouhodobém horizontu nevhodný. Pro tento účel lze substituční cyklus s výhodou definovat jako časový interval začínající zavedením mutace, která dosáhne fixace, a pokračující po fixaci až do zavedení další mutace, která dosáhne fixace. Tento interval bude minimálně stejně dlouhý a obvykle delší než jedna celá substituce (a může zahrnovat substituce, které se časově překrývají). Podle této definice existuje souvislý soubor substitučních cyklů bez překrývání nebo vynechání v čase. Cílem je vždy sečíst požadavky na reprodukci podle scénáře přesně jednou, bez vynechání nebo dvojího započítání časových úseků.

Výše uvedená definice umožňuje výpočet celkových nákladů i při kolísání velikosti populace (což tradiční pojetí nákladů neumožňovalo). Takové kolísavé scénáře jsou různorodé a je obtížné je zobecnit. Jejich detaily jsou pokročilým tématem, přesahujícím rámec tohoto článku. Předpoklad konstantní velikosti populace je zde použit pouze pro zjednodušení, aby bylo možné objasnit další otázky.

Haploidy, klonální nebo samooplodňující organismy nebo cytoplazmatické znaky zděděné po matce

Pro přehlednost byl koncept nákladů (definovaný výše) uveden ve své nejjednodušší, negenetické podobě. Při aplikaci na konkrétní případové studie může definice převzít tradiční terminologii populační genetiky – kde nahrazujícím „znakem“ může být bodová mutace, inzerce, delece, alela, inverze, duplikace, relativní pořadí genů na chromozomu a podobně. Pro zjednodušení diskuse bude pro všechny tyto příklady používán tradiční termín „alela“.

V případě haploidů nechť při jedné substituci existuje P jedinců s alelou A a o jednu generaci později se podle scénáře zvýší o ΔP. Náklady jsou přímo dány rovnicí 3. Všimněme si, že to nezávisí na alele starého typu, jejích vlastnostech, způsobu smrti ani na prostředí. Náklady jednoduše závisí na nárůstu substituující alely.

Nechť N_e je efektivní velikost populace pro rozmnožování. Obvykle se jedná o počet dospělých jedinců, kteří se rozmnožují. (Přesná definice není pro naše výpočty rozhodující, protože její vliv spočívá pouze v měření nárůstu nebo úbytku populace. Je vedlejší a nemá žádný vliv na výpočty, když zůstává konstantní.) Nechť faktor nárůstu populace,

když N_e zůstává konstantní, G = 1.

Pojem „efektivní producent potomstva“ umožňuje zobecnit naše představy o reprodukci. Umožňuje přeměnu „jedinců s pohlavní reprodukcí“ v reprodukčně rovnocenné „jedince s nepohlavní reprodukcí“. Abychom si ukázali, jak to funguje, přijměme obvyklé konvence populační genetiky. Nechť nové a staré alely jsou A a a s rodičovskými frekvencemi p a q, kde p + q = 1. Tuto rovnici vynásobme číslem N_e a získáme N_e p + N_e q = N_e. Členy této rovnice určují efektivní producenty obou genotypů. Ve skutečnosti existuje N_e p producentů potomstva nového typu a N_e q producentů potomstva starého typu. Je to, jako by veškerá reprodukce N_e p dospělých jedinců směřovala k produkci potomstva genotypu A a veškerá reprodukce N_e q dospělých k produkci potomstva genotypu A. Tyto údaje jsou přesné pro asexuální druhy. U pohlavních druhů se jedná o průměrné hodnoty. V každém případě jsme rozdělili reprodukční kapacitu populace na části odpovědné za produkci jednotlivých genotypů.

Efektivní počáteční počet genotypů je počet efektivních producentů daného genotypu. Pro substituční alelu je tento údaj P = N_e p. Podle definice je konečný počet

Poté přeformulujme rovnici 3:

Rovnice 7 platí za širokých podmínek, jako je nepravidelné kolísání velikosti populace i rychlosti nárůstu genotypu A.

Dále předpokládejme konstantní velikost populace (G = 1) a využijme skutečnosti, že nárůst genotypů se obvykle udává v podobě selekčních hodnot. Nechť genotypy A a a mají selekční hodnoty 1 a 1-s, kde s > 0.

Levý člen je nová frekvence alel

, což podle rovnice 7 dává:

Rovnice 11 udává minimální požadovanou nadbytečnou míru reprodukce. Je přesná bez ohledu na prostředí (měnící se nebo neměnné), koeficient výběru (malý nebo velký) nebo typ výběru (měkký nebo tvrdý). Například v populaci o jednom milionu dospělých osob, kde jedna má novou alelu A (tedy p = 10^-6), předpokládejme, že s = 1 (což znamená, že k substituci dojde v jedné generaci), pak Cost_i = 999,999. To znovu potvrzuje první scénář ve výše uvedené části, tedy náklady versus rychlost.

Genetická smrt

Rovnice 11 je totožná s Crowovým nákladovým vzorcem a (za Haldanova dodatečného předpokladu s << 1) se přesně zjednodušuje na Haldanův vzorec. To je pozoruhodné, protože tato rovnice vychází z jiných fyzikálních úvah (i když má podobný cíl). Haldane to zdůvodnil tím, že populace začíná s normovanou velikostí 1 (na pravé straně rovnice 8). Po výběru se toto množství sníží o částku uvedenou na pravé straně rovnice 9 (v tomto případě o sq). Haldane určil toto snížení jako podíl genetických úmrtí a velikosti dospělé populace (tedy v jednotkách genetických úmrtí na dospělého člověka) a definoval je jako „náklady“. Haldane¹ použil stejnou matematickou metodu (reflexivně a bez fyzikálního zdůvodnění) ve všech svých různých případových studiích. Později Crow vztáhl svůj vzorec na celý rozsah hodnot s, vycházel však ze stejných fyzikálních úvah jako Haldane. Crow definoval náklady jako „poměr vyřazených (sq) a nevyřazených jedinců (1-sq)“. Tato definice dvakrát používá Haldanův koncept genetické smrti.

Jejich vzorce poskytují matematicky správné předpovědi, ale jsou založeny na pochybné fyzikální interpretaci. Jak upozornili Feller,¹⁹ Moran,²⁰ Hoyle²¹ a Wallace,²² Haldanova definice genetické smrti nedává fyzikální smysl. Zmínění autoři uvádějí přesvědčivé příklady jejího selhání. Zde se pokouším ukázat důvod. Rovnice 9 a 10 jsou samostatné matematické kroky, které představují jeden nedělitelný fyzikální proces. V přírodě neexistuje krok použití selekce, po kterém by následoval samostatný krok normalizace. To vše se děje najednou. Haldanův koncept „genetické smrti“ existuje pouze uprostřed těchto rovnic (v rovnici 9). Je to matematický přelud, který ve fyzikální realitě neexistuje. Řešením je opustit jeho koncept genetické smrti a stavět na pevnějším základě.

Fyzikální význam genetické smrti je trvalou překážkou. Prozkoumejme nejjednodušší případ [jedinou generaci někdy během jediné substituce u haploidů, s konstantní velikostí populace a rovnoměrnou mírou reprodukce (po níž následuje selekce prostřednictvím úmrtí mláďat) a s << 1]. V tomto nejjednodušším případě a s využitím konceptu genetické smrti můžeme zkonstruovat správný argument, který omezuje míru substituce. Je však nutné postupovat velmi obezřetně, protože logika je nepřímá a komplikovaná. Za prvé, tato úmrtí bylo třeba (někde, nějak) převést na požadavek míry reprodukce. Tradičně se tato konverze prováděla implicitně (ne explicitně), takže nebyla dobře pochopena.

Za druhé, v tomto nejjednodušším případě byla genetická smrt interpretována jako smrt jedinců starého typu, způsobená přítomností nové alely – jinak řečeno, k úmrtím by nedošlo, kdyby nová alela chyběla. Zdálo se tedy, že identifikace genetické smrti vyžaduje, aby byl scénář zkoumán za dvou okolností – s nahrazující alelou a bez ní. Jaký význam by však mohla mít druhá okolnost? Proč by měla mít druhá okolnost, kdy substituce chybí, nějaký vliv na omezení míry substituce? Tato záhada byla příčinou zmatku.

Někteří badatelé záhadu interpretovali následovně. Pokud se prostředí zhoršuje a nová alela je vzhledem ke zhoršujícímu se prostředí prospěšná, pak by ke stejným úmrtím docházelo, i kdyby nová alela neexistovala. Stejně tak by přítomnost nové prospěšné alely nezvýšila počet úmrtí. Úmrtí tedy nejsou způsobena novou alelou, ale jsou zcela důsledkem zhoršení životního prostředí. Na tomto základě někteří badatelé (např. Felsenstein^{13, 18}) dospěli k závěru, že v nezhoršujícím se prostředí by prospěšné substituce měly nulové náklady. Tento chybný závěr, ačkoli je dodnes běžný, byl způsoben genetickou smrtí a zmatkem, který vyvolává.

Stručně řečeno, i v těch nejjednodušších případech se mnozí badatelé snažili pochopit genetickou smrt (staré alely) a způsob, jakým by mohla omezit míru substituce (nové alely). Situace se však rychle komplikuje. Pokud se scénář odchýlí od rovnoměrné míry reprodukce (a umožní selektivní eliminaci v důsledku snížené plodnosti), pak budou některá nebo všechna genetická úmrtí virtuální nebo imaginární (ne skutečná). Haldane řekl, že tato virtuální úmrtí se mají počítat jako „rovnocenná“ skutečným úmrtím, ale nevysvětlil proč. Vzhledem k tomu, že tito jedinci nejsou nikdy ani počati, je jejich fyzikální interpretace zdrojem zmatku. Proč by například virtuální (nebo imaginární) úmrtí staré alely omezovalo míru substituce nové alely?

Odpověď je nyní nasnadě. Haldanův koncept virtuální smrti je pouze umělým tabelačním zařízením, které nám pomáhá vypočítat správnou odpověď. Všechny selektivní eliminace (i ty, které jsou způsobeny sníženou mírou reprodukce) započítejme do tabulek, jako by se jednalo o skutečná úmrtí – to ve skutečnosti znamená, že všechny scénáře jsou počítány, jako by měly jednotnou míru reprodukce. (Haldane v podstatě použil princip ekvivalence nákladů.) Při použití tohoto umělého tabelačního zařízení (a když se selekční koeficient blíží nule) se počet selekčních úmrtí jedinců starého typu dělený velikostí dospělé populace (což je Haldanův koncept nákladů) rovná požadované nadbytečné míře reprodukce pro celou populaci. Jinými slovy, existuje určitý počet selektivních úmrtí starého typu a populace musí produkovat nadbytečnou míru reprodukce, která je dostatečná pro zajištění potomků starého typu. Při rovnoměrné míře reprodukce je však stejná míra vyžadována i pro produkci potomstva nového typu a tento požadavek zůstává nedotčen, i když míra reprodukce není rovnoměrná (opět se zde využívá princip ekvivalence nákladů). Tímto způsobem můžeme Haldanův koncept nákladů (genetická smrt) převést na můj koncept nákladů a poskytnout legitimní fyzikální zdůvodnění Haldanova argumentu o nákladech.

Toto zdůvodnění je však také neobratné a násilné, což Haldanovu argumentaci udržuje pod mrakem nejasností. Větší výběrové koeficienty přidávají další vrstvu komplikací (a zmatků). Pokud navíc scénář zahrnuje více substitucí (překrývajících se v čase) nebo diploidy s nedominantními substitucemi, jeví se správná fyzikální interpretace Haldanova argumentu jako neřešitelná. Genetická smrt se rychle stává pouhou matematickou rovnicí, jejíž správný fyzikální výklad je přinejmenším nejasný.

Přesto mnozí badatelé prosazovali koncept genetické smrti – a s tím související zmatek podporoval různá chybná řešení Haldanova dilematu. Neuvědomili si, že Haldane se nesoustředí na smrt, ale na něco jiného.

Haldane, vynikající matematik, pravděpodobně nejprve objevil svůj koncept nákladů, jak jej odhalovala a nabízela k rozpracování jeho matematika. Haldanova matematika přesně předpovídá něco důležitého, marně se však pokoušel najít způsob, jak to vysvětlit. Crow matematiku poněkud rozšířil, ale vycházel ze stejně chybných fyzikálních úvah. Definování nákladů v termínech reprodukce, nikoli genetické smrti, vyjasňuje situaci tím, že propojuje matematiku s fyzickou realitou. To je podpořeno následujícím faktem: ve všech různých případových studiích se mé substituční náklady pro danou generaci redukují přesně na Crowovy (za předpokladu konstantní velikosti populace) a poté přesně na Haldanovy (za jeho dodatečného předpokladu s << 1). Tento nákladový koncept je však obecnější a má konkrétní fyzikální interpretaci.

Haldanův¹ článek opakovaně hovoří o „reprodukční schopnosti“; ta byla zjevně ústředním bodem jeho úvah. V jeho článku nebyl výslovně použit termín „reprodukční nadbytek“, ačkoli pozdější komentátoři, jako například Merrell,⁹ mu tento základní pojem pochopitelně přisoudili. Crow a Merrell tuto formulaci upřesnili (i když se stále silně prolíná s pojmem genetické smrti). Použití termínu „reprodukční nadbytek“ dále naznačuje, že pojem nákladů, s nímž se potýkali, je v tomto článku objasněn. Bohužel jejich správné zaměření na reprodukční nadbytek bylo do značné míry odsunuto stranou v důsledku vzniku nového konceptu – genetické zátěže.

Genetická zátěž

Substituční zátěž je definována jako procentuální pokles průměrné biologické zdatnosti v dané generaci způsobený substitucí prospěšné mutace. Nechť w_O představuje biologickou zdatnost optimálního genotypu a w_A průměrnou biologickou zdatnost populace. Substituční zátěž je (w_O–w_A )/w_A.

V případě haploidu je w_O = 1 a w_A = 1-sq, takže zátěž je sq/(1-sq). Jinými slovy, zátěž a náklady jsou stejné. (Poznámka: někteří badatelé definují zátěž jako (w_O–w_A)/w_O = w_O–w_A = sq, což znamená, že zátěž se rovná nákladům, pokud s << 1.) Podobná ekvivalence se objevuje i u diploidních případů. Tuto ekvivalenci zpopularizoval Kimura a brzy se stala převládajícím způsobem, jak diskutovat o nákladech substituce. To je nešťastné, protože koncept zátěže způsobil mnoho nejasností.

Za prvé, náklady a zátěž se začaly považovat za totožné pojmy, i když se fyzikálně liší. Pouze se stává, že mají slabou matematickou ekvivalenci, a to jen za zvláštních okolností (např. konstantní velikost populace, s << 1 atd.). Zátěž zastírá fyzikální procesy (zejména u diploidů) a rozostřuje koncept míry reprodukce (který je oprávněně ústředním bodem teorie nákladů).

Za druhé, substituční zátěž má silně antiintuitivní příchuť. Kimura poznamenává, že „jedna z populárních kritických námitek je, že substituční zátěž výhodnější alely za méně výhodnou nelze považovat za zátěž, protože se tím zvyšuje biologická zdatnost druhu.“²³ Argument zátěže tvrdí, že substituce nové výhodné mutace do populace dočasně snižuje průměrnou biologickou zdatnost populace, takže výhodná mutace způsobuje „depresi biologické zdatnosti“. Zatímco matematikům to dávalo určitý smysl, fyzikální interpretace byla hlavním zdrojem nejasností.

Za třetí, zátěž silně zdůrazňuje koncept biologické zdatnosti, což vytváří zmatek:

• Hodnoty biologické zdatnosti jsou často relativizovány, protože různé mutace nastupují, odcházejí nebo dosahují fixace, přičemž časový průběh těchto změn je obecně neznámý. Neustálý „běžící pás“ relativizovaných hodnot biologické zdatnosti vytváří zmatek, podobně jako identifikace „desátého muže na eskalátoru“.
• Výpočet zátěže závisí na w_O, biologické zdatnosti teoreticky „optimálního jedince“ – jehož identita (a biologická zdatnost) se neustále mění. Navíc ve scénářích zahrnujících substituce v mnoha lokusech teoreticky optimální jedinec v populaci obvykle nikdy neexistuje. Výpočty zátěže mají nejasnosti ohledně „optimální biologické zdatnosti“ (w_O) a jak s ní zacházet. (A současná definice „zátěže“ to nijak neobjasňuje.)
• Daná hodnota biologické zdatnosti může být realizována s dramaticky odlišnými kompromisy mezi mírou reprodukce a mírou životaschopnosti. Tyto rozdíly byly často považovány za nepodstatné, protože zátěž se tak intenzivně zaměřuje na biologickou zdatnost. To vedlo k nerozlišenému používání a kolísání mezi těmito složkami biologické zdatnosti a výsledkem byl zmatek. (Teorie nákladů se zaměřuje na míru reprodukce, a proto tento rozdíl jasně sleduje.)
• Tento zmatek se mnohonásobně zvyšuje v situacích, kdy se četné substituce časově překrývají.

Za čtvrté, zátěž prohloubila mylnou představu, že neutrální substituce nemají žádné náklady. K tomu došlo proto, že „téměř neutrální“ substituce mají „velmi nízkou“ zátěž;²⁴ a neutrální substituce mají z definice nulovou zátěž (nebo pokles biologické zdatnosti) – a zátěž byla mimoděk ztotožněna s náklady.²⁵ Neutrální mutace (a jejich substituce) navíc způsobují nulovou genetickou smrt, což se zdálo být potvrzeno rovnicemi nákladů: protože s = 0 pro neutrální mutace, jejich náklady (≈ sq) se zdají být nulové. To je však chybná interpretace, protože tyto nákladové rovnice jsou odvozeny pomocí s-hodnot, které určují nárůst alely. Pokud je s = 0, nedochází k žádnému nárůstu, a tedy ani k žádným nákladům, ale ani k substituci. V podstatě se zde počítají náklady na nenahrazení neutrální mutace – nula. To opět ukazuje skutečný rozdíl mezi koncepcí zátěže a koncepcí nákladů. Mylná představa, že „neutrální substituce nemají žádné náklady“, způsobila zmatek a podnítila různá tvrzení, že prospěšné substituce rovněž nemají žádné náklady.

Za páté, zátěž je jediná hodnota pro celou populaci (vypočtená pomocí průměrné biologické zdatnosti celé populace, w_A a optimální biologické zdatnosti, w_O). Neexistuje žádná obecně uznávaná metoda pro výpočet zátěže pro každý genotyp, a i kdyby existovala, neexistuje žádná podmínka, která by napravila „negativní zátěž“ a poskytla konzistentní fyzikální význam vhodný pro testovací scénáře. Naproti tomu náklady substituce mají pro každý genotyp odlišnou fyzikálně významnou hodnotu (i když pro testování scénáře se obvykle počítají pouze největší náklady) a ty udávají reprodukční požadavky pro každý genotyp. Jinými slovy, teorie zátěže je hrubý nástroj, zatímco teorie nákladů poskytuje jemnější detaily a transparentnější spojení se základními fyzikálními procesy.

Náklady a zátěž jsou odlišné fyzikální úvahy. Tyto pojmy by se měly používat opatrněji a neměly by být zaměňovány. Pojem nákladů má přímý a jasnější fyzikální význam, zatímco pojem zátěže je podle mého názoru náchylný k nejasnostem. Bruce Wallace ve své knize Fifty Years of Genetic Load (Padesát let genetické zátěže) hodnotí své „konečné rozčarování z teorie genetické zátěže“.²⁶ Ewens, který zdatně používal argumenty o zátěži, „často vnímal frustraci biologů (včetně Mayra) …, kteří cítili, že [převládající koncepce substituční a segregační zátěže] jsou chybné, ale nedokázali prohlédnout matematické derivace, a tak najít chyby v argumentech o zátěži“.²⁷ Teorie zátěže způsobila zmatek, kdežto vyjasněná teorie nákladů může tento obor oživit.

Modely spojitých generací

Model diskrétních generací (z rovnic 3 a 4) lze zobecnit na model spojitých generací. V čase t nechť P(t) a dP(t)/dt představují efektivní počet jedinců, kteří produkují potomstvo typu A, a jeho časovou rychlost změny.

Nechť T je efektivní délka generace – je to přibližně věk rodičů při každém porodu, zprůměrovaný za všechny porody, které dosáhnou středního věku. T je také ekvivalentní časové jednotce z odpovídajícího modelu diskrétní generace. Oba modely jsou jím spojeny.

Okamžité náklady na jednotku času jsou:

Tato rovnice zahrnuje skutečnost, že v každém okamžiku je nárůst P způsoben hodnotou P z doby o jednu generaci dřívější. To znamená, že parametr T modeluje časovou prodlevu mezi narozením potomků a vznikem další generace potomků. S ohledem na to je analogie s rovnicí 3 přesná. Rozdíl je v tom, že rovnice 3 udává náklady na celou generaci, zatímco rovnice 12 udává náklady na nekonečně malý časový úsek (nikoli na celou generaci). Kromě toho obě představují stejnou věc – požadovanou nadbytečnou míru reprodukce.

Stejně jako dříve se celkové náklady pouze sčítají (tj. integrují) v rámci substitučního cyklu.

Pokud je substituce v porovnání s časovým zpožděním T velmi pomalá, pak se celkové náklady asymptoticky blíží klasickému vzorci (= log_e K, moje rovnice 6). Celkové náklady však rychle rostou při vyšších rychlostech substituce (jak ukazuje tabulka 2). Tento spojitý model je přímo použitelný pro haploidy a lze jej rozšířit na diploidy pomocí metod uvedených v následující části.

To můžeme porovnat s Flakeovým a Grantovým haploidním modelem spojitých generací. Hustotu nákladů definují jako „poměr okamžité míry ztráty [starého znaku] k okamžité velikosti populace“.²⁸ Jejich derivace pak vede k rovnicím, které jsou tvarově shodné s rovnicemi 12 a 13, bez parametru T. Jejich konečný výsledek pak dává celkové náklady shodné s klasickým vzorcem (= log_e K, rovnice 6), nezávisle na rychlosti substituce. Tento výsledek je nepřesný, protože nebyl zahrnut žádný parametr T, který by modeloval výše popsanou časovou prodlevu mezi narozením a středním rodičovstvím. Jejich T je nulové (všechny substituce v porovnání s jejich T jsou tedy „velmi pomalé“), a proto jsou jejich celkové náklady nezávislé na rychlosti substituce. Tento omyl vznikl kvůli zaměření na genetickou smrt a ztrátu starého znaku – kde by se „časové zpoždění“ nenabízelo.²⁹ Genetická smrt byla opět zdrojem zmatku.

Diploidi

Protože nás zajímá požadovaná míra reprodukce, musíme se odvolávat na nějaké identifikovatelné reprodukční jedince. Tento článek chápe „jednotlivce“ v běžném slova smyslu jako tělo.³⁰ Proto se zaměřujeme na genotypy, protože genotypy odpovídají jedincům – tělům schopným produkovat potomstvo. Například genotyp AA odpovídá přesně definovanému reprodukčnímu tělu, ale alela A nikoli (protože nejednoznačně označuje AA nebo Aa). Alely substituují, ale genotypy jsou nositeli přírůstků. Proto vždy počítáme náklady na konkrétní genotypy (nikoliv alely). Toto rozlišení je neviditelné u jednotlivých substitucí v haploidech (kde si alela a genotyp odpovídají jedna ku jedné), ale ve všech ostatních případech je toto rozlišení zásadní.

Při diploidii odpovídají jedinci třem genotypům: AA, Aa a aa. Na začátku generace i označme počáteční počet rozmnožujících se dospělých jedinců jako: P_AA + P_Aa + P_aa = N_e. (Koncový počet jedné generace se stává počátečním počtem generace následující.) Po vydělení číslem N_e získáme výchozí genotypové frekvence, označené f_AA + f_Aa + f_aa = 1. Frekvence rodičovských alel se pak snadno vypočítají: p = f_AA + ½f_Aa a q = 1 – p.

Mendelovská segregace v kombinaci s různými schématy páření (např. náhodné páření a příbuzenská plemenitba) mění frekvence genotypů mezi rodiči a potomky, zatímco frekvence alel zůstávají nedotčeny. Tím se může počet některých genotypů snížit, zatímco jiných naopak zvýšit. Tato předvídatelná změna je způsobena pouze pasivním mícháním alel na úrovni genů a nevyžaduje reprodukční nadbytek celých těl. Proto ji nezapočítáváme do nákladů, které musí platit celá těla. Dále tedy posuzujeme její dopad a vylučujeme ji z našeho výpočtu nákladů. Toho je dosaženo pomocí konceptu efektivních producentů. Na příkladu náhodného páření ukážu, jak se postupuje ve všech případech.

Náhodné páření vytváří genotypové frekvence dané p² + 2pq + q² = 1. (Pro jiná schémata páření bude tato rovnice jiná, ale následující kroky zůstanou obvykle stejné.) Vynásobme efektivní velikost populace a získáme: N_e p² + N_e 2pq + N_e q² = N_e. Tato rovnice udává efektivní producenty tří genotypů. (Efektivní producent může být modelován jako abstraktní asexuální dospělý jedinec, který v podstatě produkuje potomstvo daného genotypu se stejnou mírou reprodukce, jakou vyžadují jeho skutečné sexuální protějšky.) Tím se plemenná populace rozdělí na tři části, přičemž každá část je určena k produkci určitého genotypu (viz např. obrázek 3). Je to, jako by veškerá reprodukce N_e p² (asexuálních) dospělých jedinců směřovala výhradně k produkci genotypů AA, zatímco veškerá reprodukce N_e 2pq (asexuálních) dospělých jedinců výhradně k produkci genotypů Aa atd. Tato rovnice ukazuje, jak se přerozděluje reprodukční kapacita populace. Efektivní počáteční počet genotypů je počet efektivních producentů daného genotypu a je dán členy předchozí rovnice, zde označenými jako P_AA ^* + P_Aa ^* + P_aa ^* = N_e.³¹

Po dokončení cyklu jedné generace nazvěme počet rozmnožujících se dospělých jedinců „konečným počtem“ (označeným prvočíslem) jako

V generaci i má každý genotyp náklady dané rovnicí 3:

Tyto rovnice lze snadno vyložit. Vezměme si případ, kdy je velikost populace konstantní (G = 1), a zaměřme se na substituční genotyp AA. Jeho efektivní producenti mají frekvenci p², a tento genotyp končí generaci s vyšší frekvencí,

. To vyžaduje míru reprodukce, což jsou náklady kontinuity 1 plus náklady substituce 1

V rámci dané generace se tyto tři náklady – Cost_AA_i, Cost_Aa_i a Cost_aa_i – na sebe neskládají. Jedná se o tři samostatná „potrubí“ – vzniklá a placená paralelně. Platby, které jdou za jedním z nich, nemohou jít za ostatními.³²

Tyto tři náklady představují minimální myslitelné náklady substituce, které vznikají každému genotypu. Každá z těchto hodnot je „mechanickým“ limitem, který nelze snížit bez ohledu na další podrobnosti o procesu výběru. Pro klesající genotypy (například Aa v druhé polovině substituce aa) je tato hranice nulová. Jejich cena však může být a obvykle bývá podstatně vyšší. Při čistém výběru životaschopnosti mají všechny podskupiny populace stejnou míru reprodukce (pak jsou některé nevýhodné genotypy eliminovány předčasným úhynem); všechny genotypy tedy nesou stejné náklady substituce: Cost_AA_i. Na druhou stranu se u čistě reprodukční selekce genotypy liší rychlostí, s jakou jsou produkovány, a proto se jejich náklady mohou blížit těmto „mechanickým“ minimům. V každém případě náklady na substituční genotyp – Cost_AA_i – nejsou těmito okolnostmi ovlivněny a zůstávají rozhodujícím hlediskem pro testování věrohodnosti scénáře.

Obvykle se stačí zaměřit na největší z těchto tří nákladů, protože tento náklad (a jeho úhrada) téměř vždy představuje nejpřísnější test scénáře, tedy:

V případě správné substituce Cost_AA_i vždy převažují (podle rovnice 4):

Výše uvedená metoda platí za nejširších okolností. Za stejných modelových předpokladů, které použili Crow a Haldane, se výše uvedené rovnice redukují na jejich rovnice, včetně Haldanových (1957) rovnic pro všechny jeho případové studie substituce. To zahrnuje: (1) haploidy, (2) diploidy s různým stupněm dominance, (3) mezidruhové křížení a (4) pohlavně vázané lokusy.³³ Pro každou generaci se náklady substituce zjištěné v tomto článku snižují na tradiční hodnotu.

Obrázek 3. Reprodukční schopnost je u diploidů přerozdělena mendelovskou segregací. Tento příklad ukazuje procento početí v populaci, z nichž vzejde potomstvo každého genotypu. V tomto příkladu, kde p = 0,4, je pouze 16 % početí určeno k reprodukci potomků genotypu AA.

Závěr

Darwin upozornil na skutečnost, že evoluce vyžaduje nadbytečnou reprodukci. Teorie nákladů kvantifikuje, kolik nadbytečnosti je potřeba, a Haldane provokujícím způsobem přispěl k vytvoření teorie nákladů.

Haldane¹ si byl vědom toho, že jeho závěry „bude pravděpodobně třeba drasticky revidovat“. Tento článek přispívá k této revizi tím, že:

1. znovu staví koncept nákladů na přímější a méně matoucí základ, než je „genetická smrt“,
2. zobecňuje koncept nákladů, čímž je eliminován požadavek na konstantní velikost populace, malé výběrové koeficienty, modely diskrétních generací atd.,
3. zjišťuje kompatibilitu (matematickou, terminologickou a koncepční) mezi tímto vyjasněným pojetím nákladů a tradičním myšlením,
4. ukazuje rozdíl mezi náklady a zátěží a proč jsou náklady ze své podstaty jasnější,
5. odstraňuje různé nejasnosti, jako například představy, že prospěšné substituce „nevyžadují žádné náklady“, „vyplatí se“ nebo „způsobí zánik“,
6. ukazuje, že kritické náklady substituce jsou dány rychlostí nárůstu substituujícího genotypu a nejsou sníženy změnou prostředí nebo typem selekčního procesu (měkký nebo tvrdý).

Zpracování uvedené v tomto článku je základní a pro dosažení co nejširší použitelnosti bude třeba je případně rozšířit:

1. scénáře spadají do různých dalších kategorií (v závislosti na přesné povaze procesu výběru), přičemž každý z nich ovlivňuje analýzu nákladů odlišným způsobem;
2. vícenásobné substituce (překrývající se v čase) vnášejí do výpočtu nákladů další jemnosti;
3. pro úplný obraz teorie nákladů a jejích aplikací je třeba zahrnout různé další náklady (jako jsou náklady mutace, náklady segregace a náklady náhodné ztráty), kterým se budeme věnovat v samostatném článku.

Sdílím s Haldanem¹, Kimurou a Crowem³⁴ přesvědčení, že argumenty o kvantitativních nákladech „by měly hrát roli ve všech budoucích diskusích o evoluci“. Souhlasím také s Georgem C. Williamsem, že „nastal čas pro obnovení diskuse a experimentální útok na Haldanovo dilema“.³⁵

Dodatek. Matematická derivace

Následující důkaz ukazuje, že pro jednu substituci trvající N generací je dosaženo minimálních celkových nákladů na substituci, pokud náklady na generaci zůstávají během substituce konstantní. Předpokládejme, že substituční znak má v průběhu substituce jedinečnou a konzistentní fyzikální (cytogenetickou) identitu. Předpokládejme také, že konečné počty pro generaci i se stanou počátečními počty pro generaci i + 1 (tj. předpokládejme, že nárůst alely probíhá výhradně prostřednictvím reprodukčního nadbytku). Tento důkaz nepředpokládá konstantní velikost populace ani nic o počtu znaků starého typu v populaci. Prozatím předpokládejme, že k substituci dochází u haploidů, klonálních nebo samooplodňujících se organismů nebo v případech cytoplazmatických znaků děděných z matčiny strany. Zde nechť je alela příkladem substitučního znaku.

Na začátku generace i nechť P_i představuje počet kopií substituční alely v dospělé populaci. (Pro matematické zjednodušení zde připouštíme jako P_i libovolné kladné reálné číslo.) Pro danou substituci jsou koncové body pevně stanoveny na P₀ a P_N (kde P₀ < P_N), podle definice. Jaké hodnoty P_i by minimalizovaly celkové náklady? Důkaz využívá indukci, to znamená, že pokud věta platí pro N = 2, pak platí i pro všechny větší hodnoty N, protože ji lze opakovaně aplikovat na každou dvojici sousedních generací. Nyní tedy stačí dokázat větu pro případ N = 2.

Počáteční a koncový bod obou generací nechť jsou pevně stanoveny na P_i a P_i+2 a ptáme se, jaká je střední hodnota P_i+1, aby se minimalizovaly celkové náklady substituce pouze pro tyto dvě generace.

Druhá derivace (celkových nákladů vzhledem k P_i+1) je kladná, což znamená, že celkové náklady mají dobře definované minimum. Abychom zjistili, kde se vyskytuje minimum, nastavme první derivaci na nulu.

To znamená (podle rovnice 19), že minimální celkové náklady nastávají, když P_i+1 má takovou hodnotu, že oba náklady jsou shodné. Tím je důkaz dokončen.

Za stejných předpokladů lze ukázat, že dominantní substituce u diploidů (s příbuzenským křížením nebo bez něj) mají náklady substituce dané rovnicí 19. Proto se výše uvedený důkaz vztahuje i na ně. Derivace rovnice 19 pro diploidy bude uvedena v samostatném článku.

Poděkování

Tato práce byla částečně podpořena grantem Discovery Institute. Poděkování patří také Dr. Paulu Nelsonovi.

Odkazy

1. Haldane, J.B.S., The cost of natural selection (Náklady na přírodní výběr),  Genet. 55:511-524, 1957. Zpět na text.
2. Dodson, E.O., Note on the cost of natural selection (Poznámka o nákladech přírodního výběru),  Nat.96:123-126, 1962. Zpět na text.
3. Maynard-Smith, J., „Haldane’s Dilemma“ and the rate of evolution, („Haldanovo dilema“ a rychlost evoluce) Nature219:1114-1116, 1968. Zpět na text.
4. Kimura, M., The Neutral Theory of Molecular Evolution (Neutrální teorie molekulární evoluce), Cambridge University Press, Cambridge, brožované vydání, s. 26, 1983. Zpět na text.
5. Williams, G.C., Natural Selection: Domains, Levels, and Challenges (Přírodní výběr. Domény, úrovně a výzvy), Oxford University Press, New York, s. 143-148, 1992. Zpět na text.
6. Crow, J.F., The cost of evolution and genetic loads (Náklady na evoluci a genetickou zátěž); in: Dronamraju, K.R. (Ed.), Haldane and Modern Biology (Haldane a moderní biologie), Johns Hopkins Press, Baltimore, s. 165-178, 1968. Zpět na text.
7. Nei, M., Fertility excess necessary for gene substitution in regulated populations (Nadbytek plodnosti nutný pro genovou substituci v regulovaných populacích), Genetics68:169-184, 1970. Zpět na text.
8. „Kumulovaný nadbytek plodnosti“ byl špatně vykládán a byl zdrojem nejasností. (Např. jaký fyzikální význam má sčítánínadbytku plodnosti v mnoha generacích?) Nei také poznamenal, že „zanedbává úmrtnost z environmentálních příčin“, čímž opomíjí rovnici 1 a to, jak by s ní jeho koncept souvisel. Nei⁷ definoval svůj koncept v rámci „nasycené populace“ s konstantní střední biologickou zdatností. Svůj koncept nezobecnil tak, aby se mohl zabývat diploidy s dominancí, kontinuálními generačními modely, velkými selekčními koeficienty nebo nekonstantními velikostmi populací, a omezil se na „kompetitivní výběr na úrovni jedince“. Nei výslovně odmítl nazvat svou myšlenku „náklady“ (jako „náklady přírodního výběru“) a místo toho zavedl svůj výše uvedený neobratný termín, který brání použití vhodné terminologie: „náklady“ a „platba“. Nepokusil se nahradit Haldanovu zmatenou koncepci nákladů koncepcí jasnější; naopak, Nei použil svou koncepci pouze jako nástroj pro ověření Haldanovy koncepce nákladů za zvláštních okolností a dospěl k závěru, že „Haldanova teorie nákladů přírodního výběru se zdá být v zásadě správná i v regulovaných populacích.“ Tato úloha byla v té době sotva doceněna a Neiova koncepce, terminologie a závěry byly v literatuře do značné míry opomíjeny. Stejně jako Haldanův koncept byl zatížen zmatkem, který vycházel zvenčí i ze samotného jeho článku. Například ve své debatě s Ewensem (Ewens, W.J., The substitutional load in a finite population (Substituční zátěž v konečné populaci),  Nat. 106:273-282, 1972; a: komentáře k Neiovu dopisu o substitučních zátěžích, Amer. Nat. 107:462-463, 1973) nad neutrálními substitucemi u diploidů, Nei (1973) svůj koncept neprosadil. Vlastně ani nemohl, protože plodnost (na rozdíl od mého konceptu založeného na reprodukci) nelze aplikovat na úrovni genů. To paradoxně způsobilo výměnu rolí mezi Neiem a Ewensem, přičemž Nei tvrdil, že neutrální mutace mají nulovou substituční zátěž (nebo náklady), což dodnes zůstává matoucím faktorem. Tímto způsobem Nei a Ewens propásli příležitost vyřešit, co znamenají náklady substituce. Zpět na text.
9. Merrell, D.J., Ecological Genetics (Ekologická genetika), University of Minnesota Press, s. 187-193, 1981. Zpět na text.
10. ReMine, W.J., The Biotic Message (Biotické poselství), St. Paul Science, Saint Paul, MN, str. 208-236; 499-507, 1993. Zpět na text.
11. Wallace, B., Fifty Years of Genetic Load-An Odyssey (Padesát let genetické zátěže – Odysea), Cornell University Press, Ithaca, NY, 1991. Zpět na text.
12. Van Valen, L., Haldane’s Dilemma, evolutionary rates, and heterosis (Haldanovo dilema, evoluční rychlost a heteróza),  Nat.47:185-190, 1963. Zpět na text.
13. Felsenstein, J., On the biological significance of the cost of gene substitution (O biologickém významu nákladů na genovou substituci),  Nat.105:1-11, 1971. Zpět na text.
14. Hartl, D.L., Principles of Population Genetics (Principy populační genetiky), Sinauer Associates Inc., Sunderland, MA, s. 377-378, 1980. Zpět na text.
15. Grant, V., The Evolutionary Process (Evoluční proces), Columbia University Press, New York, str. 166, 1985. Zpět na text.
16. Brues, A.M., The cost of evolution vs. the cost of not evolving (Náklady na vývoj versus náklady na nevývoj), Evolution18:379-383, 1964. Zpět na text.
17. ReMine, ref. 10, s. 241-245. Zpět na text.
18. Felsenstein, J., The substitutional load in a finite population (Substituční zátěž v konečné populaci), Heredity28:57-69, 1972. Zpět na text.
19. Feller, W., On fitness and the cost of natural selection (O biologické zdatnosti a přírodních nákladech),  Res. 9:1-15, 1967. Zpět na text.
20. Moran, P.A.P., „Haldane’s Dilemma“ and the rate of evolution („Haldanovo dilema“ a rychlost evoluce),  Hum. Genet. 33:245-249, 1970. Zpět na text.
21. Hoyle, F., Mathematics of Evolution (Matematika evoluce), Acorn Enterprises, Memphis, TN, str. 111-126; 119-123, 1987. Zpět na text.
22. Wallace, ref. 11, s. 76-77. Zpět na text.
23. Kimura, ref. 4, p 135. Zpět na text.
24. Kimura, M., Evolutionary rate at the molecular level, Nature217:624–626, 1968. Zpět na text.
25. Viz také Ewens (1972 a 1973) a Nei (1973), kde je uveden vzácný a pozoruhodný, i když naprosto nerozhodný dialog o „neutrální substituční zátěži“. Zpět na text.
26. Wallace, ref. 11, p. 139. Zpět na text.
27. Ewens, W.J., The mathematical foundations of population genetics (Matematické základy populační genetiky); in: Singh, R.S. a Krimbas, C.B. (Eds.), Evolutionary Genetics: From Molecules to Morphology (Evoluční genetika: Od molekul k morfologii), CambridgeUniversity Press, s. 24-40, 2000. Zpět na text.
28. Flake, R.H. a Grant, V., An analysis of the cost-of-selection concept (Analýza konceptu nákladů na výběr),  Nat. Acad. Sci. U.S.A.71(9):3716-3720, 1974. Zpět na text.
29. Stejný argument platí i pro genetickou zátěž, protože „časové zpoždění“ by se nenabízelo. Zpět na text.
30. Poznámka: koncept nákladů lze použít i na jiných úrovních, například na úrovni genů nebo druhů, kde „jedinec“ je gen nebo druh. Může se uplatnit i v jiných oblastech, například při šíření počítačových virů nebo šíření neutronů v řetězové jaderné reakci – nebo kdekoli jinde, kde hraje roli reprodukce. V takových případech je třeba definici nákladů přeformulovat na základě příslušného reprodukčního „jednotlivce“. Zpět na text.
31. U pohlavních diploidů již nejsou „počáteční počet“ a „efektivní počáteční počet“ totožné hodnoty, proto je zde rozlišujeme hvězdičkou. Zpět na text.
32. Poznámka: mechanismy rozmnožování nejsou fyzicky odděleny. Například rodič s genotypem Aa se podílí na produkci všech tří genotypů, avšak jeho potomci s genotypem AA nemohou být zároveň potomky s genotypem Aa nebo aa. Potomci jsou určeni pro jedno ze tří samostatných „potrubí“. Nezapomeňme, že jsme veškerou reprodukci efektivně rozdělili na tři části, které se vzájemně nepřekrývají a nepřispívají k sobě, a že toto rozdělení lze vypočítat na základě genetického modelu a schématu páření vyvolaného scénářem. Zpět na text.
33. Demonstrací tohoto postupu se budeme zabývat v samostatném článku. Zpět na text.
34. Kimura, M. a Crow, J.F., Natural selection and gene substitution (Přírodní výběr a genová substituce), Genetical Research13:127-141, 1969. Zpět na text.
35. Williams, ref. 5, s. 148.

^{Laický pohled na věc viz Haldanovo dilema nebylo vyřešeno, s. 20-21}

^{Pozn: Tento článek byl již dříve zaslán do časopisu Theoretical Population Biology, kde jej recenzovali renomovaní evoluční genetici Warren J. Ewens a James F. Crow spolu s Alexejem Kondrašovem a Johnem Sanfordem. Všichni uznali, že tento článek je ve všech podstatných věcech v zásadě správný. Ewens a Crow jej však odmítli publikovat s odůvodněním, že není dostatečně nový nebo odlišný od toho, co věděli oni sami a někteří jejich kolegové v 70. letech. Nikdy však o těchto poznatcích neinformovali širší vědeckou komunitu ani širokou veřejnost. V literatuře se ojediněle objevily správné postřehy, které však byly neúplné, zatížené zmatkem a nikdy nebyly sděleny souvisle. To vše bylo velmi nešťastné, protože ve vědecké komunitě stále přetrvává rozsáhlé nepochopení těchto důležitých otázek, a to i mezi těmi, kteří již léta studují literaturu o nákladech. Doufáme, že objasnění, která jsou v tomto článku uvedena a která jsou rozumná, se nakonec dostanou k širší vědecké komunitě. – Walter J. ReMine.}